虽然我很喜欢逻辑，也鼓励大家在生活中多运用逻辑思维想事情，我们也必须要承认，逻辑推理有它的局限性，光靠逻辑推理，并不能得到所有的真理，生活中的所有情况，也不是简单套用逻辑公式就能解决的。这一讲，我想给“逻辑学”降降温，为你明确逻辑学的边界，帮助你判断生活中的哪些问题可以通过逻辑推理的方法找到答案，哪些事情无法通过逻辑推理得到结果。
我们从两位数学家——希尔伯特和哥德尔讲起。你可能会疑惑，要讲逻辑学的边界，与数学家有什么关系呢？实际上，这两位数学家，正好分别代表了两种阵营，他们一个希望通过逻辑，建立起一个公理化的数学体系，而另一个，则证明了这是不可能做到的，划出了逻辑学的边界。
希尔伯特的数学成就
好，我们先从第一位数学家希尔伯特讲起。希尔伯特这个名字你可能比较陌生，但是实际上，他在数学史上的地位可不低，学界通常认为他是有史以来第五大数学家，贡献仅次于阿基米德、牛顿、高斯和欧拉这些我们熟悉的数学家。那么希尔伯特到底做出了什么贡献，让他获得这么高的评价呢？他的贡献主要有三个：
首先，他将几何学进一步公理化。对数学比较了解的同学可能知道，早在欧几里得时期，就已经将几何学建立在严谨的公理之上了，那么希尔伯特为什么还要将几何学进一步公理化呢？因为欧几里得的公理系统存在一些没有清晰定义的概念，所以大家会产生二义性的理解，希尔伯特用更清晰，更符合逻辑的数学概念定义了几何学全部的概念，并且重新描述了几何学公理。
其次，希尔伯特将数论研究规范化，也就是创立了代数数论，这些内容我们就不展开讲了。
除此之外，希尔伯特还全面考察和分析了20世纪数学的发展状况，为随后一个多世纪的数学发展指明了方向。其中影响力最大的就是他总结了23个最重要的数学问题，也被称为“23个希尔伯特数学问题”。可以说，在随后的一个多世纪里，世界上很多数学家都是围绕着这些问题来展开自己的研究工作的。
不过，虽然已经在数学领域取得了很大的成就，但是希尔伯特的理想却不仅限于此。他的最高目标是将所有的数学知识，放进一个基于很少的公理，并通过逻辑学演绎出来的系统当中。
与希尔伯特同时代的那一批数学家，他们共同的想法就是将数学的一个个分支公理化。事实上在19世纪末20世纪初，几乎所有已知的数学分支，都可以被公理化。在这种背景下，希尔伯特就开始了一个宏大的设想，就是将整个数学建立在一个完备的公理系统当中。
希尔伯特产生这个想法还有一个原因，就是当时数学家和逻辑学家们发现，数学和逻辑学基本上是一回事。比如通过集合论，我们可以演绎出关于谓词逻辑的全部内容。同样，从集合论出发，我们可以演绎出近代的全部代数学内容。
基于这两个事实，希尔伯特等人觉得，到了把所有数学和逻辑学知识都放到一个公理化系统中的时候了。在希尔伯特的影响下，当时很多数学家都不约而同地参与到这项宏伟的计划中。
具体来讲，希尔伯特的目标是这样的：
所有的数学知识应该用一种统一的严格形式化的语言和一套严格的规则来描述，它符合下面四个特性：第一，这个规则是完备的，也就是说数学里所有的真命题都可以根据上述规则证明出来。第二，这套规则具有一致性，也就是运用这套规则，不可能推导出矛盾。第三，这套规则还具有保守性，怎么理解呢？用谓词逻辑来举例就是，假设一个推理过程对于全称量词是对的，那么对于存在量词一定对。最后，这套规则还具有确定性，就是我们能够判别一个命题是真命题还是假命题。
这些要求显然都很合理，似乎也应该能够做到，因为在我们的印象中，对于一个数学命题，我们一定能判断它的真假，并且从同样的前提出发，也不可能同时推导出相互矛盾的结果。
逻辑学的边界
希尔伯特的这个想法是1930年被提出来的，在之后的10年时间里，希尔伯特和很多数学家、逻辑学家不断努力，试图证明这个想法的可行性。但是到了1931年，年仅24岁的数学家哥德尔提出了哥德尔不完备定理，证明了希尔伯特的这种想法实现不了。
哥德尔不完备定理讲的是怎样一回事呢？简单来说，哥德尔找到了一个反例，证明存在一种公理系统，它不可能同时满足完备性和一致性。也就是说，要想让这个公理系统能够证明出所有的真命题，那么它就有可能推导出自相矛盾的结果。如果要避免自相矛盾的情况，那么有些命题就一定无法证明出来。
哥德尔不完备定理的提出和被证明对希尔伯特的打击很大，因为这宣告了不可能通过公理化的方法，来建立数学的体系，希尔伯特这位老数学家毕生的梦想无法实现了。
但是换一个角度看，哥德尔不完备定理对数学和逻辑学的帮助很大，因为它告诉大家不要去做那些根本做不到的事情。哥德尔不完备定理实际上是划定了数学和逻辑学的边界，也就是告诉大家世界上很多问题是不可能靠数学和逻辑学来解决的。说得更直白一点，就是世界上很多问题根本就不是数学问题，也变不成数学问题。
讲到这里，我想给你举一个例子。我曾经和郭毅可教授讨论过一个思想实验。假如在一个只有一条车道的单行线上，有一辆无人驾驶汽车在行驶，你想和它开个玩笑，站在它前面不走。它就一点招都没有了。
因为根据机器人第一定律，机器人不能伤及人类。而那条路又是单行的，车无法倒退。如果是人开车会如何解决这个问题呢？他或许会下来把挡路的人拉开，或者打电话给警察，总之采用的肯定不是数学的办法，但是肯定能解决问题。
从这个例子就可以看出，世界上很多问题不是数学问题，因此基于数学模型建立起的机器人，也解决不了很多在人类看来是很简单的问题。
这个例子原本只是我们想出的思想实验。谁知在2023年这件事还真的就在旧金山市发生了。当时旧金山已经允许无人驾驶汽车载客运行，有两辆Cruise公司的无人驾驶汽车在路口遇上了，彼此都非常客气互相让车，谁也动不了，结果把后面的汽车堵了老长。后面的司机们叫来警察，警察也没有办法，最后只好叫来开发团队的工程师，修改一段代码，让一辆车先过去，这才算把问题解决了。
所以，对于自动驾驶汽车来说，即使能够解决技术上的问题，但是遇到不是数学问题的问题，它也无解。而最后解决的办法也不是数学的办法。
说回哥德尔，虽然哥德尔提出了哥德尔不完备定理，证明了逻辑学是存在边界的，不能解决所有问题。但是实际上在生活中，哥德尔却非常较真，喜欢找出各种逻辑上的矛盾。
给你讲一个最典型的例子吧。1947年，哥德尔申请通过归化成为美国公民，于是他就开始学习美国宪法，当时爱因斯坦和经济学家摩根斯特恩准备陪他去参加公民归化的考试，哥德尔告诉爱因斯坦，他发现美国宪法中有一个矛盾，爱因斯坦和摩根斯特恩非常担心他们的朋友会在考试时挑战考官。果然在考试时，考官恰好问到哥德尔这个问题，哥德尔便开始向考官论证他发现的问题。所幸爱因斯坦认识那位考官，那位一头雾水的考官赶忙打断哥德尔的长篇大论，随便问了些其他问题就让他通过了。甚至最后哥德尔的死亡也和他的较真有关。晚年的哥德尔得了病，在普林斯顿住进了医院，他因为怀疑医院提供给他的食物有毒，最终绝食而死。
所以，先不说逻辑学本身就存在边界，不能概括所有的情况，更重要的是，我们生活的现实世界不是一个非对即错的形式逻辑的世界，所以即便你的逻辑思维水平特别高，做人也不要太较真，有些事自己明白了就好。
总结
这一讲我们通过两位数学家的故事了解了数学和逻辑学的边界。第一位数学家是希尔伯特，他希望建造一个完美的公理化的数学体系，而另一位数学家哥德尔则证明了这是不可能的。在数学和逻辑上，完备性和一致性无法兼得，这就是逻辑的局限性。而在生活中，世界上有很多问题不是数学问题，也不是逻辑问题，不能简单地用逻辑方法解决。
1. 涉及人际关系和情感问题
人与人之间的关系错综复杂，往往受许多主观因素影响。比如矛盾、冲突、信任、家庭琐事等，很难用逻辑去判断和处理。这类问题需要交涉、沟通、同理心等来化解。
2. 高度不确定或缺乏前提的情况
当面临诸多未知因素或信息不完整时，逻辑推理就难以奏效。比如预测未来、判断一个新事物，缺乏足够支撑前提，逻辑推理就失去了基础。
3. 价值观冲突的伦理难题
一些涉及生命、善恶、是非的伦理问题，常常需要平衡多种价值观以及审慎和智慧，逻辑推理很难给出令人信服的答案。
逻辑思维虽然有局限性，但它依然是非常重要的思维工具。关键是要正确认识和把握它的适用范围和边界，在需要时与其他思维方式有机结合，才能让思维更全面，处理复杂人生问题也更得心应手。
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